Segovia, 25 January 2010 - 29 January 2010


This is the seventh winter school in Dynamical Systems of the DANCE (Dinámica, Atractores y Nolinealidad: Caos y Estabilidad) Spanish network.


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Àngel Jorba (Universitat de Barcelona)
Carmen Núñez (Universidad de Valladolid)


Ernest Fontich (Universitat de Barcelona)
Jorge Mozo (Universidad de Valladolid)
Jesús F. Palacián (Universidad Publica de Navarra)
Joan Torregrosa (Universitat Autònoma de Barcelona)


Clementa Alonso (Universidad de Alicante)
Alberto Llorente (Universidad de Valladolid)
Lorena López (Universidad de Valladolid)
Jorge Mozo (Universidad de Valladolid)
Fernando Sanz (Universidad de Valladolid)

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Scientific Sessions

 Symmetric Lyapunov families in the N-body problem: from the regular N-gon relative equilibrium to choreographies and Hip-Hops - Alain Chenciner (Université Paris 7 & Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Ephémérides)


  1. The course will start with a quick introduction to the N-body problem: symmetries and first integrals, reduction, central configurations and homographic motions.
  2. After reduction, a relative equilibrium becomes an equilibrium from which Lyapunov families may bifurcate. The classical theorems will be discussed, in particular those of Lyapunov and Weinstein-Moser. Two examples will serve as illustration: Conley's approach of Hill's orbits in the restricted 3-body problem and Chenciner & Féjoz study of the flow in the neighborhood of the equilateral relative equilibrium of the equal mass 3-body problem.
  3. With the aim of understanding the corresponding Lyapunov families, the Vertical Variational Equation of a (horizontal) relative equilibrium solution of the N-body problem will be introduced and the symmetries of its solutions studied in the case of the regular N-gon for N equal masses.
  4. The minimization of the action integral under symmetry constraints will be introduced as a tool for the continuation of the local Lyapunov families. Already known to Poincaré, the collision problem, due to the weakness of the Newton potential, will be discussed and Marchal's theorem explained.
  5. The course will end with a picture of what is known, theoretically or numerically on the global Lyapunov families (choreographies and Hip-Hops) which bifurcate from the regular N-gon relative equilibrium. It will show in particular the limitations of action minimization due to the existence of isomorphisms between the symmetries of different families.


  • A. Chenciner, J. Féjoz, "Unchained polygons and the N-body problem", in Regular and chaotic dynamics Vol. 14, N°1, 64-115 (2009).
  • A. Chenciner, "4 lectures on the N-body problem", in Hamiltonian Dynamical Systems and Applications, W. Craig ed. 21-52, Springer (2008).
  • A. Chenciner, J. Féjoz, "The flow of the equal-mass spatial 3-body problem in the neighborhood of the equilateral relative equilibrium" in Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B, Vol.10, Number 2-3,421-438 (2008).


  1. Maximal attractors and their Hausdorff dimension.
  2. Hyperbolic attractors. Solenoid.
  3. Different definitions of attractors. SRB measure. Palis paradigm.
  4. Attractors with intermingled basins. Fubini nightmare.
  5. Invisible parts of attractors. Fubini regained.
  6. New type of attracting sets: bony attractors.
  7. Limit cycles of quadratic vector fields.
  8. Nonaccumulation of limit cycles to hyperbolic polycycles.
  9. Infinitesimal Hilbert 16th problem.
  10. Complex foliations.
 Asymptotic expansions, summability and singular perturbations - Reinhard Schäfke (Université Louis Pasteur)


  1. First the classical notions of asymptotic expansions, Gevrey asymptotics and Borel summability will be presented, especially the basic theorem of Ramis-Sibuya on Gevrey-asymptotics.
  2. For solutions of analytic singularly perturbed ODE, the existence of solutions having Gevrey asymptotics and the existence of summable solutions will be studied. Applications to the problems of overstability and the existence of canard-solutions are given.
  3. For doubly singular equations, a new notion of monomial summability will be introduced. Near turning points, uniform asymptotics in the form of combined expansions and their relation to the classical "matching" will be discussed. If time permits, an example of parametric resurgence will also be presented.
 Mireille Canalis-Durand
 Reinhard Schäfke, M. Canalis-Durand, J. Mozo
 Reinhard Schäfke, A. Fruchard
 Yu. Ilyashenko
 Alain Chenciner, Jacques Féjoz
 Alain Chenciner
 Joan Torregrosa, Universitat Autònoma de Barcelona (Spain)
 Carmen Núñez, Universidad de Valladolid (Spain)
 Set Pérez-González, Universitat Autònoma de Barcelona (Spain)
 Jorge Mozo, Universidad de Valladolid (Spain)
 Francisco R. Ruiz del Portal, Universidad Complutense (Spain)
 Ana Maria Sanz , Universidad de Valladolid (Spain)
 Primitivo B. Acosta, Universidad Sergio Arboleda (Colombia)
 Cristina Chiralt, Universitat Jaume I (Spain)
 Beatriz Campos, Universitat Jaume I (Spain)
 Denis Volk, Independent University of Moscow (Russia)
 Lluís Alsedà, Universitat Autònoma de Barcelona (Spain)
 Mohammed A. Ghezzar, Mostaganem University (Algeria)
 Ashraf Owis, Cairo University (Egypt)
 Anna Tamarit, Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
 Rodrigo Treviño, The University of Maryland (USA)
 Reginaldo Braz Batista, Universidade Federal de Minas Gerais (Brazil)
 Ekaterina Kutafina, University of Science and Technology (Poland)
 Lorena López, Universidad de Valladolid (Spain)
 Alfred Peris, Universitat Politècnica de València (Spain)
 Salomón Rebollo, Universitat Autònoma de Barcelona (Spain)
 Clementa Alonso, Universidad de Alicante (Spain)
 Jorge Álvarez, Universidad de Valladolid (Spain)
 Alberto  Lastra, Universidad de Valladolid (Spain)
 Mikhail Turbin, Voronezh State University (Russia)
 Lei Zhao, Université Paris 7 (France)
 Pura  Vindel, Universitat Jaume I (Spain)
 Eva M. Pérez, Universitat de Barcelona (Spain)
 José L. Bravo, Universidad de Extremadura (Spain)
 Maria J.  Alvarez, Universitat de les Illes Balears (Spain)
 Isaac García, Universitat de Lleida (Spain)
 Maite Grau, Universitat de Lleida (Spain)
 Daniel  Peralta, Universidad Carlos III (Spain)
 Polina Vytnova, Moscow State University (The Netherlands)
 Antoni Ferragut, Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
 Oriol Castejón, Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
 Alejandro Luque, Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
 Montserrat Navarro, Universitat de Barcelona (Spain)
 Nuria Corral, Universidad de Cantabria (Spain)
 Leopoldo  Morales , Universitat Autònoma de Barcelona (Spain)
 Jorge Galán, Universidad de Sevilla (Spain)
 Fernando Sanz, Universidad de Valladolid (Spain)
 Soledad Fernández, Universidad de Sevilla (Spain)
 Hernán Neciosup, Pontificia Universidad Católica del Perú (Peru)
 Victor Zvyagin, Voronezh State University (Russia)
 Alberto Llorente, Universidad de Valladolid (Spain)
 Àngel Jorba, Universitat de Barcelona (Spain)
 Oswaldo J. Larreal, Universidad del Zulia (Venezuela)
 Piotr Oprocha, Universidad de Murcia (Spain)
 Marcel Guardia, Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
 William Yessen, University of California, Irvine (USA)
 Adriana Buica, Babes-Bolyai University (Romania)
 Abraham De la Rosa, Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
 Mónica Molina, Universidad de Sevilla  (Spain)
 Marina Gonchenko, Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
 Elísabet Vela, Universidad de Sevilla (Spain)
 Javier Sanz, Universidad de Valladolid (Spain)
 Marcelo Ribeiro, Universidade de São Paulo (Brazil)
 Rubén Berenguel, Universitat de Barcelona (Spain)
 Víctor Muñoz, Universidad de Valladolid (Spain)
 Joanna Chrobak, Universidad de Castilla-La Mancha (Spain)
 Ivana  Latosinski, Universidade Federal de Minas Gerais (Brazil)
 Grisha Kolutsky, Lomonosov Moscow State University (Russia)
 Naeem Alkoumi, Universidad de Granada (Spain)
 Santiago Díaz, Universidad de Sevilla (Spain)
 Jordi Villanueva, Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
 José Á.  Rodríguez, Universidad de Oviedo (Spain)
 Magdalena Caubergh, Universitat Autònoma de Barcelona (Spain)
 Sara Costa, Universitat de Girona (Spain)
 Daniel  Molano, Universidad Sergio Arboleda (Colombia)
 Albert Granados, Universität Stuttgart (Germany)
 Jordi Taixés, Universitat de Barcelona (Spain)
 Gianluigi Del Magno, Universidade Técnica de Lisboa  (Portugal)
 Jesús Palacián, Universidad Pública de Navarra (Spain)
 Patricia Yanguas, Universidad Pública de Navarra (Spain)
 Rafael Obaya, Universidad de Valladolid (Spain)
 Yeruham C. A. Vargas, Sergio Arboleda University (Colombia)
 Antonio Algaba, Universidad de Huelva (Spain)
 Cristóbal García, Universidad de Huelva (Spain)
 Ernest  Fontich, Universitat de Barcelona (Spain)
 Pau Carrió,  (Spain)
 Jesús S. Pérez del Río, Universidad de Oviedo (Spain)
 Patricia Sánchez, Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
 Sylvia Novo, Universidad de Valladolid (Spain)
 Andrés M. Rivera, Universidad de Granada (Spain)
 Carlos A. Acuña, Universidad Sergio Arboleda (Colombia)
 Karen A. Miranda, Universidad Sergio Arboleda (Colombia)
 Radu Saghin, Centre de Recerca Matematica (Spain)
 Diego A. Cáceres, Universidad Sergio Arboleda (Colombia)
 Mercè Ollé, Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
 Verstringe Freek, Universiteit Hasselt (Belgium)
 Emilio Freire, Universidad de Sevilla (Spain)
 Francisco Torres, Universidad de Sevilla (Spain)
 Javier Ros, Universidad de Sevilla (Spain)
 Enrique Ponce, Universidad de Sevilla (Spain)
 Luz M. Echeverry, Universidad Sergio Arboleda (Colombia)
 Ando Kana, Université d'Angers (France)
 José A. Conejero, Universidad Politécnica de Valencia (Spain)
 Zhaoyang Dong, Universitat Autònoma de Barcelona (Spain)
 Ilya Schurov, Moscow State University (Russia)
 Joan Carles Tatjer, Universitat de Barcelona (Spain)
 Begoña Alarcón, Universidad de Oviedo (Spain)
 Lana Horvat, University of Zagreb (Croatia)
 Francisco J. Muñoz, Universidad CEU-Cardenal Herrera (Spain)
 Félix Martínez, Universidad Politécnica Valencia (Spain)
 Susanna Maza, Universitat de Lleida (Spain)
 Marta Canadell, Universitat de Barcelona (Spain)
 Gilberto  Duarte, Universidade Federal de Minas Gerais (Brazil)
 David Becerro, Universitat de Barcelona (Spain)
 Alain Chenciner, Université Paris 7 & IMCCE (France)
 Yulij S. Ilyashenko, Cornell Univ. & Moscow State Univ. (Russia)
 Reinhard Schäfke, Université Louis Pasteur (France)
 Carlos A. Peña, Sergio Arboleda University (Colombia)